Question

【題目】設數列的前項和為， 且成等差數列。

（1證明為等比數列，并求數列的通項；

（2）設，且，證明。

（3）在（2）小問的條件下，若對任意的，不等式恒成立，試求實數λ的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：當時，由 ，作差可得兩邊同時除以即可構造新數列求解了；

（2）由（1）有，即可采用裂項相消的方法求和得即可證明

；

（3）恒成立時，即（）恒成立，令，討論求解即可.

試題解析：

（1）在中

令，得即，①

令，得即，②

又，③

則由①②③解得，

當時，由 ，得到

則

又，則

是以為首項， 為公比的等比數列，

，即

（2），則

則

.

（3）當恒成立時，即（）恒成立.

設（），

當時， 恒成立，則滿足條件；

當時，由二次函數性質知不恒成立；

當時，由于對稱軸 ，則在上單調遞減，

恒成立，則滿足條件，

綜上所述，實數λ的取值范圍是.