Question

【題目】如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，，，點M是EC的中點．

(1)求證:平面ADEF平面BDE.

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

(1)由勾股定理可得BD⊥AD，再利用面面垂直的性質可得ED⊥BD，結論得證；

（2）建立直角坐標系，分別求出平面BDE和平面BDM的法向量，利用空間向量求其二面角可得答案.

解：(1)由題可知AD=BD=2，AB=則AD2+BD2=AB，

根據勾股定理有BD⊥AD，

又因正方形ADEF 與梯形ABCD所在平面互相垂直，則ED⊥平面ABCD，

則ED⊥BD，而AD∩ED=D，所以BD⊥平面ADEF.

而BD平面BDE，所以平面ADEF⊥平面BDE.

(2)以D為坐標原點，分別以DA，DB，DE為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

由題可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（0.2，0），E（0，0，2），C（-2，2，0），M（-，，1）.

由(1)可得AD⊥平面BDE，則可取平面BDE的法向量，設平面BDM的法向量為，=（-，，1），=（0，2，0），

由·=0，·=0，.可得

可取=（，0，2），則.

設二面角E-BD-M的平面角為α，顯然α為銳角，

故