Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中已知橢圓，焦點在x軸上的橢圓與的離心率相同，且橢圓的外切矩形ABCD（兩組對邊分別平行于x軸、y軸）的頂點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）設為橢圓上一點（不與點A、B、C、D重合）.

①若直線：，求證：直線l與橢圓相交；

②記①中的直線l與橢圓C1的交點為S、T，求證的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析

【解析】

（1）由于離心率相同可設方程為.代入矩形頂點坐標可求得，得方程；

（2）①直線方程與橢圓方程聯立方程組，消元后計算，同時驗證在的直線與橢圓也是相交的，證得結論；

②設，由弦長公式得計算出弦長，再求出到直線的距離，計算面積即可得．

（1）依題意設橢圓的方程為.

因為橢圓的外切矩形ABCD的四個頂點為，

將點代入方程中，得，

所以橢圓的標準方程為.

（2）①聯立，消去y得

.

因為為橢圓上一點，

所以

從而，

則.

特別地，當時，，

此時直線與橢圓也相交，

所以直線與橢圓相交.

②設

由①，

知

，從而

又因為點到直線的距離

，

所以，

所以的面積為定值.