Question

【題目】已知橢圓的離心率，兩焦點分別為，右頂點為， .

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設過定點的直線與雙曲線的左支有兩個交點，與橢圓交于兩點，與圓交于兩點，若的面積為， ，求正數的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知，可得，又∵，即可得解.

（Ⅱ）由可得， 結合直線與雙曲線的左支有兩個交點，∴必有. ∴.可得.

試題解析：（Ⅰ）由已知，不妨設， ，

∴，即，

又∵， ∴，∴橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）依題設，如圖，直線的斜率存在，設， ，

由得，

即，

，

∴，

點到直線的距離為,

∴,

整理得，解得或，

又由直線與圓相交，有，解得，

依題設，直線與雙曲線的左支有兩個交點，∴必有. ∴.

此時， ，

∴正數.

點晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系. 直線和圓錐曲線的位置關系一方面要體現方程思想，另一方面要結合已知條件，從圖形角度求解．聯立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數的關系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數關系、設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．