Question

【題目】設數列的各項都是正數，且對于任意都有，記為數列的前項和.

（1）計算的值；

（2）求數列的通項公式；

（3）設，若為單調遞增數列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）.

【解析】

（1）代入，可得，從而求得；代入得，可求得；代入，可得，可求得；

（2）將兩式作差整理可得；根據可整理得，進而得到，可知數列為等差數列，根據等差數列通項公式求得結果；

（3）將問題轉化為恒成立，則只需；分別在為奇數和為偶數兩種情況下得到和恒成立，通過求得右側的最小值和最大值求得的范圍.

（1）當時，，又各項均為正數

當時，，即，解得：

當時，，即，解得：

（2）由（1）知，當時，

當且時，……①

……②

①②得：

…③，則…④

③④得：

數列是以為首項，為公差的等差數列

（3）由（2）知：

若為單調增數列，則恒成立

即

只需

①當為奇數時，只需恒成立

當時，的最小值為

②當為偶數時，只需

當時，的最大值為

綜上所述：的取值范圍為