Question

【題目】已知函數

（1）求函數的極值；

（2）求證： ；

（3），若對于任意的，恒有成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】試題分析：（1）由題意，得，得出函數的單調性，即可求得函數的極值；

（2）由（1）知的極小值即為最小值，推得，進而可證得結論；

（3）由題意的解析式，求得，令，求得，利用得存在，使，且在上遞減， 在上遞增，求得函數的的最小值，再轉化為函數，利用導數的單調性，即可求解實數的取值范圍.

試題解析：

（1）由可得，函數在單減，在單增，所以函數的極值在取得，為極小值；

（2）根據（1）知的極小值即為最小值，即可推得當且僅當取等，所以，

所以有

（3） ∴

令，則，∴在上遞增

∵，當時， ∴存在，使，且在上遞減， 在上遞增

∵ ∴，即

∵對于任意的，恒有成立

∴ ∴

∴ ∴ ∴，又，

∵ ∴，令， ，顯然在單增，而， ，

∴ ∴.