Question

【題目】已知函數f（x）＝exsinx，g（x）為f（x）的導函數，

（1）求f（x）的單調區間；

（2）當x∈[，π]，證明：f（x）+g（x）（π﹣x）≥0.

Answer 1

【答案】（1）增區間為，單調遞減區間為；（2）見解析

【解析】

(1) 求出函數的導函數,令可得函數的單調區間.
(2) 要證，即證sinx﹣（sinx+cosx）（x﹣π）≥0，設討論其單調性得到函數的最小值即可證明.

（1），

當，即時，f′（x）＞0；

當，即時，f′（x）＜0，

故函數f（x）的單調遞增區間為；單調遞減區間為；

（2）證明：由（1）知，，

當x∈[，π]時，要證，即證sinx﹣（sinx+cosx）（x﹣π）≥0，

設，則h′（x）＝﹣（cosx﹣sinx）（x﹣π）﹣sinx＜0，

故函數h（x）在上為減函數，

∴h（x）≥h（π）＝0，即sinx﹣（sinx+cosx）（x﹣π）≥0，即得證.