Question

【題目】已知函數在定義域內有兩個不同的極值點.

（Ⅰ）求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若有兩個不同的極值點，且，若不等式恒成立，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求導得,再轉化為與的圖像在上有兩個不同的交點,再分析的函數單調性與最值,進而數形結合求解即可.

（Ⅱ）設是的兩個根,代入相減可得,再對兩邊取對數,化簡即證,再構造,分析函數的單調性證明最值,從而求得取值范圍即可.

（Ⅰ）由題意, 有兩個不同的根,

故方程在上有兩個不同的根,轉化為函數與函數的圖象在上有兩個不同交點.

,故 時,. 時, ,

故在上單調遞增,在上單調遞減.

所以

又,故時, ,時,

由圖象可得：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：設是的兩個根,

故,,相減可得.

故

,又,故上式即為

令,則對恒成立.

設,則,

①若,當時, ,時,

故在上單調遞減,故當時,不合題意；

②若,則,故在上單調遞增.

故時, ,即恒成立.

綜上：