Question

【題目】2017高考特別強調了要增加對數學文化的考查，為此某校高三年級特命制了一套與數學文化有關的專題訓練卷（文、理科試卷滿分均為100分），并對整個高三年級的學生進行了測試.現從這些學生中隨機抽取了50名學生的成績，按照成績為 ， ，…， 分成了5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學生的成績均不低于50分）.

（1）求頻率分布直方圖中的 的值，并估計所抽取的50名學生成績的平均數、中位數（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
（2）若高三年級共有2000名學生，試估計高三學生中這次測試成績不低于70分的人數；
（3）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的三組學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人參加這次考試的考后分析會，試求后兩組中至少有1人被抽到的概率.

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖可得第4組的頻率為 ，

故 .

故可估計所抽取的50名學生成績的平均數為

（分）.

由于前兩組的頻率之和為 ，前三組的頻率之和為 ，故中位數在第3組中.

設中位數為 分，

則有 ，所以 ，

即所求的中位數為 分

（2）解：由（1）可知，50名學生中成績不低于70分的頻率為 ，

由以上樣本的頻率，可以估計高三年級2000名學生中成績不低于70分的人數為

（3）解：由（1）可知，后三組中的人數分別為15,10,5，故這三組中所抽取的人數分別為3,2,1.記成績在 這組的3名學生分別為 ， ， ，成績在 這組的2名學生分別為 ， ，成績在 這組的1名學生為 ，則從中任抽取3人的所有可能結果為 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20種.

其中后兩組中沒有人被抽到的可能結果為 ，只有1種，

故后兩組中至少有1人被抽到的概率為 .

【解析】(1)由頻率的直方圖求出第4組的頻率從而得到x的值，進而可估計所抽取的50名學生成績的平均數和中位數。(2)先求出50名學生中成績不低于70分的頻率為0.6，由此可以估計高三年級2000名學生中成績不低于70分的人數。(3)由列舉法一一列出各個成績段的滿足題意的人數，由概率的定義得到兩組中至少有1人被抽到的概率的值。
【考點精析】關于本題考查的頻率分布直方圖和概率的意義，需要了解頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；任何事件的概率是0~1之間的一個確定的數，它度量該事情發生的可能性．小概率事件很少發生，而大概率事件則經常發生．知道隨機事件的概率有利于我們作出正確的決策才能得出正確答案．