Question

【題目】已知單調等比數列，首項為，其前項和是，且，，成等差數列，數列滿足條件

（1）求數列、的通項公式；

（2）設，記數列的前項和是.

①求；

②求正整數，使得對任意，均有.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)①.；②..

【解析】

(1)由遞推關系首先求得數列的公比，然后可得其通項公式，利用數列的遞推關系結合計算可得數列的通項公式；

(2)①.首先整理數列的通項公式，然后利用分組求和的方法可得其前n項和；

②.計算的值，利用函數增長速度的知識和不等式的解集即可確定k的值.

(1)設.由已知得，即，

進而有.所以，即，則.

由已知數列是單調等比數列，且，所以取.

數列的通項公式為.

，，

則.

即數列的通項公式為.

(2)①.由(1)可得：，

分組求和可得：.

②由于，

由于比變化快，所以令得.

即遞增，而遞減。所以，最大.

即當時，.