Question

【題目】已知數列的前項和為，滿足與的等差中項為（）.

（1）求數列的通項公式；

（2）是否存在正整數，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.

（3）設 ，若集合恰有個元素，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）11；（3）

【解析】試題分析：

（1）由題意得，遞推作差，得，得到數列為等比數列，即可求解通項公式；

（2）原問題等價于（）恒成立，可分為奇數恒成立， 為偶數時，等價于恒成立，利用函數的單調性和最值，即可求解；

（3）由（1）得，判定出數列的單調性，求得的值，集合題意集合即可得出 的范圍.

試題解析：

（1）由與的等差中項為得，①

當時， ②

①②得， ，有因為在①中令，得

是以，公比為的等比數列

數列的通項公式為

（2）原問題等價于（）恒成立.當為奇數時，對任意正整數不等式恒成立；當為偶數時，等價于恒成立，令， ，則等價于對恒成立， 故在上遞增

故即故正整數的最大值為

（3）由 及

得，

當時， ；當時，

， ， ， ，

由集合恰有個元素，得