Question

【題目】已知拋物線（），直線與拋物線交于 (點在點的左側)兩點，且.

（1）求拋物線在兩點處的切線方程；

（2）若直線與拋物線交于兩點，且的中點在線段上， 的垂直平分線交軸于點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）第（1）問，先求出拋物線的方程得到 ，再求導求出切線斜率，最后求出拋物線在兩點處的切線方程.(2)第（2）問，先利用弦長公式求出，再利用點到直線的距離求三角形的高，最后寫出面積的表達式，再換元利用導數求它的最大值.

試題解析：

（1）由，令，得，所以，解得， ，由，得，故所以在點的切線方程為，即，同理可得在點的切線方程為.

（2）由題意得直線的斜率存在且不為0，

故設， ， ，由與聯立，

得， ，

所以， ，

故.

又，所以，所以，

由，得且.

因為的中點為，所以的垂直平分線方程為，令，得，即，所以點到直線的距離，

所以

.

令，則，則，故.

設，則，結合，令，得；

令，得，所以當，即時， .