Question

【題目】由郭帆執導吳京主演的電影《流浪地球》于2019年2月5日起在中國內地上映，影片引發了觀影熱潮，預計《流浪地球》票房收入47億人民幣，超過《紅海行動》成為中國影史票房亞軍，僅次于《戰狼2》.某電影院為了解該影院觀看《流浪地球》的觀眾的年齡構成情況，隨機抽取了40名觀眾，將他們的年齡分成7段：，，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）試求這40名觀眾年齡的平均數、中位數、眾數；

（2）（i）若從樣本中年齡在50歲以上的觀眾中任取3名贈送VIP貴賓觀影卡，求這3名觀眾至少有1人年齡不低于70歲的概率；

（ii）該電影院決定采用抽獎方式來提升觀影人數，將《流浪地球》電影票票價提高20元，并允許購買電影票的觀眾抽獎3次，中獎1次、2次、3次分別獎現金元、元，元.設觀眾每次中獎的概率均為，若要使抽獎方案對電影院有利，則最高可定為多少元？（結果精確到個位）

Answer 1

【答案】(1)37,35,35

(2)(i) ,(ii)37

【解析】

（1）根據頻率分布直方圖的數據，以及平均數、中位數、眾數的計算公式即得解；

（2）(i)根據頻率分布直方圖得到樣本中50歲以上的觀眾人數，以及不低于70歲的觀眾人數，利用超幾何概型即得解；

（ii）由題意知服從二項分布，利用二項分布的概率公式即得解.

平均數

，

前三組的頻率之和為：0.15+0.20+0.30=0.65,

故中位數落在第3組，設中位數為x，則

即中位數為35，第三組的頻率最大，故眾數為35.

（2）(i)由頻率分布直方圖年齡在50歲以上的觀眾共有名，年齡不低于70歲的觀眾有2名，記事件A為“這3名觀眾至少有1人年齡不低于70歲的概率”，則：

.

(ii)設觀眾三次抽獎所獲得的獎金總額為隨機變量，其所有可能取得值為：（單位：元）, 表示顧客三次抽獎都沒有獲獎.

所以：，

觀眾在三次抽獎中獲得的獎金總額的期望值為：

令

所以x最高定價為37元時，才能使得抽獎方案對電影院有利.