【題目】已知為實數,函數
.
(Ⅰ)求函數的單調區間;
(Ⅱ)求函數在
上的最小值
;
(Ⅲ)若,求使方程
有唯一解的
的值.
【答案】(Ⅰ)當時,遞增區間為
;當
時,遞減區間為
,遞增區間為
; (Ⅱ)
; (Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)首先求出函數定義域與
,然后根據
與0的大小關系,分類討論,即可求得函數
的單調區間;
(Ⅱ)根據(Ⅰ),分和
討論函數
的單調性,從而根據函數單調性求得
的最小值;
(Ⅲ)設,然后將問題轉化為
有唯一解,從而通過求導研究函數
的單調性得到
,進而構造新函數,通過研究新函數的單調性求得
的值.
(Ⅰ)由題意,函數,
可得的定義域為
,且
,
當時,
,則
在
上是增函數;
當時,令
,解得
;令
,得
,
所以在
上是減函數,在
上是增函數.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
①當時,
在
上是增函數,所以
;
②當時,
在
上是減函數,在
上是增函數,
若,即
時,
在
上是增函數,所以
;若
,即
時,
在
上是減函數,在
上增函數,
所以,
綜上可得.
(Ⅲ)若方程有唯一解,設
有唯一解,
令,可得
,
因為,
,所以
或
(舍去),
當時,
,
在
上是單調遞減函數;
當時,
,
在
上是單調遞增函數,
所以當時,函數取得最小值,最小值為
,
因為有唯一解,所以
,
所以,即
,所以
,
因為,所以
,
設函數,∵
時,
是增函數,
所以至多有一個解,且
,
所以方程得解為
,即
,解得
,
所以當時,方程
有唯一解時
的值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標方程是,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,曲線C經過伸縮變換
得到曲線E,直線
(t為參數)與曲線E交于A,B兩點.
(1)設曲線C上任一點為,求
的最小值;
(2)求出曲線E的直角坐標方程,并求出直線l被曲線E截得的弦AB長.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點的坐標為
,且長軸長為短軸長的
倍.橢圓
的上、下頂點分別為
,經過點
的直線
與橢圓相交于
兩點(不同于
兩點).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線,求點
的坐標;
(3)設直線相交于點
,求證:
是定值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某部門在上班高峰時段對甲、乙兩座地鐵站各隨機抽取了50名乘客,統計其乘車等待時間(指乘客從進站口到乘上車的時間,單位:分鐘)將統計數據按,
,
,…,
分組,制成頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求a的值;
(2)記A表示事件“在上班高峰時段某乘客在甲站乘車等待時間少于20分鐘”試估計A的概率;
(3)假設同組中的每個數據用該組區間左端點值來估計,記在上班高峰時段甲、乙兩站各抽取的50名乘客乘車的平均等待時間分別為,求
的值,并直接寫出
與
的大小關系.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知點,
分別是橢圓
右頂點與上頂點,坐標原點
到直線
的距離為
,且點
是圓
的圓心,動直線
與橢圓交于
,
兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點在線段
上,
,且當
取最小值時直線
與圓
相切,求
的值;
(3)若直線與圓
分別交于
,
兩點,點
在線段
上,且
,求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘(如圖),并且每一排釘子數目都比上一排多一個,一排中各個釘子恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘的正中央.從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球,當小球從兩釘之間的間隙下落時,由于碰到下一排鐵釘,它將以相等的可能性向左或向右落下,接著小球再通過兩鐵釘的間隙,又碰到下一排鐵釘.如此繼續下去,在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.
(Ⅰ)理論上,小球落入4號容器的概率是多少?
(Ⅱ)一數學興趣小組取3個小球進行試驗,設其中落入4號容器的小球個數為,求
的分布列與數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】中國古代的四書是指:《大學》、《中庸》、《論語》、《孟子》,甲、乙、丙、丁名同學從中各選一書進行研讀,已知四人選取的書恰好互不相同,且甲沒有選《中庸》,乙和丙都沒有選《論語》,則
名同學所有可能的選擇有______種.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的.從正面看,蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成,中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構成.如圖,在正六棱柱的三個頂點
處分別用平面
,平面
,平面
截掉三個相等的三棱錐
,
,
,平面
,平面
,平面
交于點
,就形成了蜂巢的結構,如下圖(4)所示,
瑞士數學家克尼格利用微積分的方法證明了蜂巢的這種結構是在相同容積下所用材料最省的,英國數學家麥克勞林通過計算得到菱形的一個內角為,即
.以下三個結論①
;②
;③
四點共面,正確命題的個數為______個;若
,
,
,則此蜂巢的表面積為_______.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知點A(0,2),B為拋物線x2=2y﹣2上任意一點,且B為AC的中點,設動點C的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)是否存在斜率為1的直線l交曲線E于M、N兩點,使得△MAN為以MN為底邊的等腰三角形?若存在,請求出l的方程;若不存在,請說明理由.
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