Question

【題目】已知函數f（x）=ex-a+lnx。

（1）若a=1，求證：當x＞1時，f（x）＞2x-1

（2）若存在x0≥e，使f（x）＜2lnx0，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意對函數求導，然后構造函數，結合函數的性質即可證得題中的結論；

(2)結合題意構造函數，結合其導函數的性質可得實數a的取值范圍是.

試題解析：

（1）a=1時，f（x）=ex-1+lnx， =ex-1+

設g（x）=ex-1+lnx-2x+1， =ex-1+-2

=ex-1-，x＞1，ex-1＞1,0＞＜1. =ex-1-＞0

在（1，+∞）遞增，又g’（1）=0，∴x＞1時，

g（x）在（1，+∞）遞增，x＞1時，g（x）＞g（1）=0，即ex+lnx-2x+1＞0

x＞1時，ex+lnx＞2x-1，即f（x）＞2x-1

(2)若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，即ex0-a＜lnx0

即存在x0＞e，使ea＞

設h（x）=（x≥e），則h’（x）=

u=lnx-，u’=在[e，+∞）遞增。

x=e時，u=1-＞0，所以u＞0在[e,+00）恒成立，

h’（x）＞0，在[e,+00）恒成立，所以h（x）[e,+∞）遞增

x≥e，時h（x）min=h（e）=ee

需ea＞eea＞e