Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數的零點；

（Ⅱ）若函數對任意實數都有成立，求函數的解析式；

（Ⅲ）若函數在區間上的最小值為，求實數的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1和3 （Ⅱ） （Ⅲ）或.

【解析】

（Ⅰ）代入a的值，令即可求得函數的零點.

（Ⅱ）根據可知函數的對稱軸為，進而求得a的值，即可得到解析式.

（Ⅲ）討論對稱軸與區間的位置關系，結合單調性和最小值，即可求得a的值..

（Ⅰ）當時， ，

由可得或，所以函數的零點為1和3．

（Ⅱ）由于對任意實數恒成立，

所以函數圖像的對稱軸為，即，解得．

故函數的解析式為．

（Ⅲ）由題意得函數圖像的對稱軸為．

當，即時， 在上單調遞減，

所以，解得．符合題意．

當，即時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，解得，與矛盾，舍去．

當，即時， 在上單調遞增，

所以，解得．符合題意．

所以或．