Question

【題目】已知 ，不等式 成立.
（Ⅰ）求實數 的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，對于實數 滿足 且不等式 恒成立，求 的最小值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令 ，則 ,
，由于 ,不等式 成立， .
（Ⅱ）當 時，不等式 恒成立等價于 恒成立，
由題意知 根據基本不等式有 ,
從而 （當且僅當 時等號成立）,
再由基本不等式 （當且僅當 時等號成立） 的最小值為 .
【解析】(1)根據題意去絕對值即可得到分段函數進而出滿足 | x 1 | | x 2 | ≥ t 的t的取值范圍。(2)由題意不等式 log3 m · log3 n ≥ t 恒成立等價于 log3 m · log3 n ≥ 1 恒成立結合基本不等式即可確定log3 m n ≥ 2，進而求出m n ≥ 9再根據基本不等式即可求出m + n 的最小值。