Question

【題目】已知函數 .

（Ⅰ）在區間上的極小值等于，求；

（Ⅱ）令， .曲線與交于， 兩點，求證: 在中點處的切線斜率大于.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（1）求出導函數，明確函數的極小值，從而得到值；（2）記，要證在中點處的切線斜率大于，即證，

只需證 .

試題解析：

（Ⅰ）因為,所以在區間上是單調遞增函數.

因為， ，由題意: 在區間上的極小值,故

所以. 設為在區間上的極小值點,

故,所以.

設， ，則，

所以，即在上單調遞減，易得出,故．

代入可得,滿足,故．

（Ⅱ）,由題意有兩解， ，不妨設.

，或（舍）.

要證在中點處的切線斜率大于，即證，

即證，只需證 .（*）

又， ，所以兩式相減，并整理，

得 .把 代入（*）式，

得只需證，可化為.

令，得只需證.令（），

則 ，所以在其定義域上為增函數，

所以.

故在中點處的切線斜率大于.