Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若直線是函數圖象的切線，求的最小值；

（3）當時，若直線是函數圖象有兩個交點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）令，根據導函數討論單調性，轉化為，，求參數的取值范圍；

（2）設切點，寫出切線方程，得，利用函數單調性求解；

（3）令，將問題轉化為在上有兩個零點，求參數的取值范圍.

解：（1）由，得，則

，

因為在上單調遞增，所以，，，

即，，令，在上單調遞增，且能取到上一切實數，所以，故實數的取值范圍為．

（2）設切點為，則切線方程為，

因為直線是函數圖象的切線，

所以，，所以，

令， ，則

當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增，所以．

所以的最小值為．

（3）當時，令，則．

當時，，在上單調遞增，在上至多一個零點，

故．令方程的大根為，則．

當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減．

因為在上有兩個零點，所以，

解得（構造函數，根據單調性求解），

所以．

取，則，

根據零點存在性定理，在上至少有一個零點，又在上單調遞增，

所以在上只有一個零點．

同理，在上只有一個零點．

綜上，實數的取值范圍為.