Question

【題目】已知函數，且.

（1）求；

（2）證明：存在唯一極大值點，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據函數解析式變形為,由可知.構造函數,并求得其導函數,通過討論的不同取值范圍,分析函數的單調性及最值,即可求得.

（2）求得導函數.并構造函數,求得.根據導函數判斷出的單調區間,并求得與,從而可知唯一的零點在.即,并判斷的單調情況,即可得知存在唯一極大值點.因為,代入方程表示為,再代入即可結合證明不等式成立.

（1）因為,且,所以,

構造函數,則,又,

若,則,則在上單調遞增,則當時,矛盾,舍去；

若,則,則當時,,則在上單調遞增,則矛盾,舍去；

若,則,則當時,,

則在上單調遞減,則矛盾,舍去；

若,則當時,,當時,,

則在上單調遞減,在上單調遞增,

故,則,滿足題意；

綜上所述,.

（2）證明:由（1）可知,則,

構造函數,則,

又在上單調遞增,且,

故當時,,當時,,

則在上單調遞減,在上單調遞增,

又,,又,

結合零點存在性定理知,在區間存在唯一實數,使得,

當時,,當時,,當時,,

故在單調遞增,在單調遞減,在單調遞增,

故存在唯一極大值點,因為,所以,

故,

因為,所以.