Question

【題目】已知函數為常數).

（1）討論的單調性；

（2）是的導函數，若存在兩個極值點，求證:

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在實數集上的減函數；

當時，當時，函數單調遞減；

當時，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減；（2）證明見解析過程.

【解析】

（1）對函數進行求導，結合基本不等式進行分類討論即可；

（2）計算出的值，根據已知和所要證明的不等式，構造新函數，再對新函數進行求導，結合基本不等式可以判斷出新函數的單調性，利用新函數的單調性證明即可.

（1）.

因為（當且僅當時取等號），所以，

當時，，函數在實數集上的減函數；

當時，或，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減；

（2），函數存在兩個極值點，由（1）可知：，此時構造新函數為，

所以，所以函數是減函數，

當時，，

所以有，因為，所以有