Question

已知函數．
（1）當時，求在最小值；
（2）若存在單調遞減區間，求的取值范圍；
（3）求證：（）．

Answer 1

（1）1   （2）

試題分析：（1）先求函數的導數，利用導數求出函數f（x）的單調區間，即可可求在最小值；（2）先求導，由有正數解得到含有參數a的關于x的不等式有的解,在分類求出滿足條件的a，最后求并集即可.（3）用數學歸納法證明.
試題解析：（1），定義域為．
 
在上是增函數．
.                               4分
（2）因為
因為若存在單調遞減區間，所以有正數解.
即有的解 
當時，明顯成立 .
②當時，開口向下的拋物線，總有的解；
③當時，開口向上的拋物線，
即方程有正根.
因為，
所以方程有兩正根.
當時，；
，解得．
綜合①②③知：．
或： 
有的解 
即 
即  
，
（3）（法一）根據（Ⅰ）的結論，當時，，即．
令，則有，   ．
，
．                                 14分
(法二)當時，．
，，即時命題成立．
設當時，命題成立，即 ．
時，．
根據（Ⅰ）的結論，當時，，即．
令，則有，
則有，即時命題也成立．
因此，由數學歸納法可知不等式成立．