Question

【題目】已知函數，.

（1）若直線與曲線恒相切于同一定點，求直線的方程；

（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先由直線與曲線恒相切于同一定點，得曲線必恒過定點，根據曲線方程求出定點坐標，再對函數求導，求出切線斜率，進而可得出切線方程；

（2）由題意先得到在上恒成立，再令，對函數求導，分類討論，導數的方法研究函數的單調性，進而可求出參數范圍.

（1）因為直線與曲線恒相切于同一定點，

所以曲線必恒過定點，

由，，令，得，

故得曲線恒過的定點為.

因為，所以切線的斜率，

故切線的方程為.

（2）因為當時，恒成立，

所以恒成立，

即在上恒成立.

令，

則，

令，

則.

①當時，顯然，

所以在上單調遞增，故，

因為當時，，所以在上單調遞增，

故.從而，當時，恒成立.

②當時，

令，

則，

所以在上單調遞增，故，

同①可證，當時，恒成立.

③當，即時，

由②可知在上單調遞增，

因為，

又 ，

故必存在，使在上，即，

因此在上單調遞減，

所以時，即，

所以在上單調遞減，

因此時，

即，

即，

因此此時不恒成立，

綜上可得.