Question

已知函數()
（1）當a=2時，求在區間[e，e²]上的最大值和最小值；
(2)如果函數、、在公共定義域D上，滿足<<，那么就稱為、的“伴隨函數”．已知函數，，若在區間（1，+∞）上，函數是、的“伴隨函數”，求a的取值范圍。

Answer 1

（1）的最大值為f（e²）=4e⁴+lne²=2+4e⁴，最小值為f（e）=2e²+lne=1+2e²；
（2）．

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，對求導，判斷函數的單調性，函數遞增，則在區間2個端點處取得最大值和最小值；第二問，由新定義將題目轉化為，在（1，+∞）上恒成立，對求導，對的根進行討論，判斷函數的單調性，求出最大值，令最大值小于0，同理，對求導，求最大值，需要注意如果最大值能夠取到，則最大值小于0，若最大值取不到，則最大值小于等于0．
（1）當a=2時，，則
當x∈[e，e²]時，，即此時函數單調遞增，
∴的最大值為f（e²）=4e⁴+lne²=2+4e⁴，最小值為f（e）=2e²+lne=1+2e²．      4分
（2）若在區間（1，+∞）上，函數是、的“伴隨函數”，
即<<，令在（1，+∞）上恒成立，在（1，+∞）上恒成立，
因為
①若，由得
當，即時，在（x₂，+∞）上，有，此時函數單調遞增，并且在該區間上有，不合題意．
當x₂＜x₁=1，即a≥1時，同理可知在區間（1，+∞）上，有，不合題意．
②若a≤，則有2a  1≤0，此時在區間（1，+∞）上，有p'（x）＜0，此時函數p（x）單調遞減，要使p（x）＜0恒成立，只需要滿足，即可
此時，        9分
又，則h（x）在（1，+∞）上為減函數，則h（x）＜h（1）=，所以              11分
即a的取值范圍是。              12分