Question

【題目】已知函數f（x）＝（m﹣1）x2+3x﹣2m，（m∈R）.

（1）解關于x的不等式f（x）+x2﹣1＜4x﹣m；

（2）若f（x）＜0的解集為（﹣4,1），g（x）＝f（x）﹣x+5，對于n∈N*，證明：.

Answer 1

【答案】(1) 當m＞0，不等式的解集為（﹣1,1），當m＝0時，不等式的解集為（﹣1,+∞），當m＜0，不等式的解集為（﹣∞,1）∪（﹣1,+∞），當m時，不等式的解集為（﹣∞,﹣1）∪（﹣1,+∞），當m，不等式的解集為（﹣∞,﹣1）∪（1,+∞）；(2)證明見詳解.

【解析】

（1）整理不等式，分解因式，對參數進行分類討論，即可求得解集；

（2）由不等式的解集求得參數的值，再利用放縮的方法，證明不等式即可.

（1）f（x）＝（m﹣1）x2+3x﹣2m，

f（x）+x2﹣1＜4x﹣m，

∴（m﹣1）x2+3x﹣2m+x2﹣1＜4x﹣m，

即mx2﹣x﹣（m+1）＜0，

即（x+1）[mx﹣（m+1）]＜0，

①當m＝0時，﹣x﹣1＜0，解得x＞﹣1，

②當m＞0時，原不等式為（x+1）[x﹣（1）]＜0，

解得﹣1＜x＜1，

③當m＜0時，原不等式為（x+1）[x﹣（1）]＞0，

令（x+1）[x﹣（1）]＝0，

解得x＝﹣1或x＝1，

⒈若﹣1＞1，即m＜0，

解得x＞﹣1或x＜1，

⒉若﹣1＝1，即m，

解得x≠﹣1，

⒊若﹣1＜1，即m，

解得x＜﹣1或x＞1，

綜上所述：

當m＞0，不等式的解集為（﹣1,1），

當m＝0時，不等式的解集為（﹣1,+∞），

當m＜0，不等式的解集為（﹣∞,1）∪（﹣1,+∞），

當m時，不等式的解集為（﹣∞,﹣1）∪（﹣1,+∞），

當m，不等式的解集為（﹣∞,﹣1）∪（1,+∞）

（2）∵f（x）＜0的解集為（﹣4,1），

∴f（x）＝（m﹣1）x2+3x﹣2m＝0的兩個根為﹣4，1

∴﹣4+1，﹣4×1，

解得m＝2，

∴f（x）＝x2+3x﹣4，

∴g（x）＝f（x）﹣x+5＝x2+3x﹣4﹣x+5＝x2+2x+1＝（x+1）2，

∴，

要證明，

只要證，

即證，

①∵，

∴

11，

即證不等式的右邊.

②∵，

∴

═，

即證不等式的右邊.

綜上所述：.即證.