【題目】已知橢圓
的一個焦點與拋物線
的焦點重合，且拋物線的準線被橢圓
截得的弦長為1，
是直線
上一點，過點
且與
垂直的直線交橢圓于
兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線
的斜率分別為
，求證：成等差數列.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
（1）根據弦長和焦點關系求解方程；
（2）設直線
的方程為
，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理分別計算
和
的關系即可得證.
解：
（1）拋物線
的焦點為
，準線方程為
.
又拋物線的準線被橢圓
截得的弦長為1，所以點
在橢圓上.
由
，解得
，
.故橢圓的標準方程為
（2）當直線的斜率不存在時，其方程為
，代入橢圓方程得
兩點坐標為
、
，此時
，
.
∴
成等差數列.
當直線的斜率存在時，設
，直線的方程為，由
得
∴
，
直線
方程為
，則
，
，
，
.
，
.
∴
、
、
成等差數列，綜上、、成等差數列.
方法二 設點
、
、
當
時，方程為，此時
，
，、、成等差數列
當
時，的斜率為
，方程為
，
由
得
∴
∴
∴、、成等差數列
綜上、、成等差數列.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xoy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系。已知曲線C的極坐標方程為
，過點
的直線l的參數方程為
（為參數），直線l與曲線C交于M、N兩點。
（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程：
（2）若
成等比數列，求a的值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左焦點為
，
是橢圓上關于原點
對稱的兩個動點，當點
的坐標為
時，
的周長恰為
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線
交橢圓于
兩點，且
，求
面積的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一場拋擲骰子的游戲中，游戲者最多有三次機會拋擲一顆骰子，游戲規則如下：拋擲1枚骰子，第1次拋擲骰子向上的點數為奇數則記為成功，第2次拋擲骰子向上的點數為3的倍數則記為成功，第3次拋擲骰子向上的點數為6則記為成功.游戲者在前兩次拋擲中至少成功一次才可以進行第三次拋擲，其中拋擲骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.
（1）求游戲者有機會第3次拋擲骰子的概率；
（2）設游戲者在一場拋擲骰子游戲中所得的分數為
，求隨機變量的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，有兩個圓
和
，其中
，
為正常數，滿足
或
，一個動圓
與兩圓都相切，則動圓圓心的軌跡方程可以是（ ）
A.兩個橢圓B.兩個雙曲線
C.一個雙曲線和一條直線D.一個橢圓和一個雙曲線
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱
中，
，
，
為
的中點.
（I）若
為
上的一點，且
與直線
垂直，求
的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，設異面直線與所成的角為45°，求直線與平面
成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的參數方程為
（
為參數），
，
為曲線上的一動點.
（I）求動點對應的參數從
變動到
時，線段
所掃過的圖形面積；
（Ⅱ）若直線與曲線的另一個交點為
，是否存在點，使得為線段
的中點？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.
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