Question

【題目】已知是自然對數的底數，函數與的定義域都是.

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）判斷函數零點個數;

（3）用表示的最小值，設，，若函數在上為增函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數只有一個零點；（3）.

【解析】

（1）先求導數，代入得為直線的斜率，利用點斜式可求直線方程；

（2）先求導數，結合導數的符號，判定零點的個數；

（3）為增函數，轉化為恒成立，然后利用分離參數法求解.

（1）∵，∴切線的斜率，.

∴函數在點處的切線方程為.

（2）∵，，∴，，，

∴存在零點，且.∵，

∴當時，；當時，由得

.∴在上是減函數.

∴若，，，則.∴函數只有一個零點，且.

（3）解：，故，

∵函數只有一個零點，∴，即.∴.

∴在為增函數在，恒成立.

當時，即在區間上恒成立.

設，只需，

，在單調遞減，在單調遞增.

的最小值，.

當時，，由上述得，則在恒成立.

綜上述，實數的取值范圍是.