Question

【題目】已知函數，，.

(1)求的極值；

(2)若對任意的，當時，恒成立，求實數的最大值；

(3)若函數恰有兩個不相等的零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)的極小值為，無極大值；(2)；(3) .

【解析】

(1)求出，判斷其符號，得出的單調性即可

(2)將變形為，構造函數，轉化為在恒成立即可

(3)求出，然后分四種情況討論

(1)，令，得.

列表如下：

		1
	－	0	＋
		極小值

∵，∴的極小值為，無極大值.

(2)∵，由(1)可知

等價于，

即.

設，則在為增函數.

∴在恒成立.

∴恒成立.

設，∵在上恒成立

∴為增函數.

∴在上的最小值為.

∴，∴的最大值為.

(3)

①當時，當和時，，單調遞增

當時，，單調遞減

所以的極大值為

所以函數至多一個零點

②當時，，在上單調遞增.

③當時，當和時，，單調遞增

當時，，單調遞減

所以的極大值為

的極小值為

所以函數至多有一個零點.

④當時，當，，單調遞增

當時，，單調遞減

所以

Ⅰ：當時，即時，函數至多一個零點.

Ⅱ：當時，

所以存在，

所以函數在上有唯一的零點.

又

所以函數在上有唯一的零點.

綜上所述：實數的取值范圍為.