Question

【題目】已知橢圓：，四點，，，中恰有三點在橢圓上.

（1）求的方程；

（2）設的短軸端點分別為，，直線：交于，兩點，交軸于點，若，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據所給四個點的坐標可知,關于軸對稱,當恰有三點在橢圓上時,橢圓必經過,.將坐標代入橢圓方程可得等量關系.由點和橢圓的位置關系,可判斷出不在橢圓上,將代入橢圓方程,即可求得,得橢圓方程.

（2）設出直線與橢圓的兩個交點坐標和與y軸的交點坐標.利用兩點間距離公式可表示出.將直線方程與橢圓方程聯立,根據兩個交點可知判別式,求得的取值范圍.結合韋達定理表示出.根據坐標表示出,再由等量關系,即可消去求得的值.

（1）由于,關于軸對稱,當恰有三點在橢圓上時,橢圓必經過,.

所以.

又將代入橢圓方程可知,所以不經過點,

則點在橢圓上,所以代入可得,即

因此,

故的方程為.

（2）直線:.則,設與的兩個交點分別為,,,

則,

由兩點間距離公式可知,

.

將直線方程與橢圓方程聯立,化簡可得.

當時,即時,

.

所以.

由（1）得,所以.

等式可化為.

因為,所以.