Question

【題目】已知橢圓C：的左、右焦點分別是，點，若的內切圓的半徑與外接圓的半徑的比是.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點M是橢圓C的左頂點，P、Q是橢圓上異于左、右頂點的兩點，設直線MP、MQ的斜率分別為、，若，試問直線PQ是否過定點？若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】

（1）設內切圓和外接圓的半徑分別是，則.利用三角形的面積公式求得與的關系式，利用正弦定理求得與的關系式，由此求得兩者直線的關系式，進而求得的值，以及橢圓的方程.

（2）當直線的斜率不存在時，設出的坐標，利用列方程，結合在橢圓上，求得的坐標，由此求得直線的方程.當直線斜率存在時，設出直線的方程，代入橢圓方程，化簡后寫出韋達定理和判別式，利用列方程，求得的關系式，由此判斷出直線所過定點坐標.

（1）由已知是橢圓的頂點，又分別是橢圓的左右焦點，則有，且.設的內切圓半徑與外接圓的半徑分別是和，則.由，得，得.

設，在中，，在中，由正弦定理得，即，所以.所以，即，即，化簡得，解得（舍去），所以.所以所求橢圓的方程是.

（2）由已知，設，

若直線PQ的斜率不存在，不妨設，

由得，即，

又，

即，得，解得舍或，

或，此時直線PQ的方程為，

若直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程為，

由，得，

，

由，得，

又，即，

即，即，

整理得，

，

整理得，解得，或，

當時，直線PQ：，即過定點，不符合題意，

當時，直線PQ：，即過定點．

綜上，直線PQ過定點．