【題目】如圖，在三棱柱
中，四邊形
為菱形，
，
為等腰直角三角形，
，
，
，則異面直線AB與
所成角的余弦值為_______.
【答案】
【解析】
由于
，所以
或其補角為異面直線AB與
所成的角，取AC的中點D，再結合已知可得
，再.取
的中點E，可證得
，從而可求出
，在
中利用余弦定理可得的余弦值，也可建空間直角坐標系，利用空間向量求解.
解法一：在三棱柱
中，，所以或其補角為異面直線AB與所成的角.取AC的中點D，連接
，BD，因為
為等腰直角三角形，D是AC的中點，所以
，又
，所以
.因為四邊形
為菱形，
，所以
，
.在
中，
，，
，所以
，即.又
，所以
平面ABC.取的中點E，連接
，CE，易知
，
，所以四邊形
為平行四邊形，所以
，所以
平面ABC，即平面
，又
平面，所以.連接
，在
中，
，
，所以，在中，
，
，，由余弦定理得
，所以異面直線AB與所成角的余弦值為.
解法二：取AC的中點D，連接，BD，因為為等腰直角三角形，，D是AC的中點，所以，.又四邊形
為菱形，，所以，.在中，，，，所以，即.又，所以平面ABC，所以以D為坐標原點，以DB，DC，
所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則
，
，
，
，所以
，
，所以
，所以異面直線AB與所成角的余弦值為.
故答案為：
奪冠訓練單元期末沖刺100分系列答案
新思維小冠軍100分作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，斜率為
的直線交拋物線
于
兩點，已知點
的橫坐標比點
的橫坐標大4，直線
交線段
于點
，交拋物線于點
．
（1）若點的橫坐標等于0，求
的值；
（2）求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了提升學生“數學建模”的核心素養，某校數學興趣活動小組指導老師給學生布置了一項探究任務：如圖，有一張邊長為27cm的等邊三角形紙片ABC，從中裁出等邊三角形紙片
作為底面，從剩余梯形
中裁出三個全等的矩形作為側面，圍成一個無蓋的三棱柱（不計損耗）．
（1）若三棱柱的側面積等于底面積，求此三棱柱的底面邊長；
（2）當三棱柱的底面邊長為何值時，三棱柱的體積最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著智能手機的普及，手機計步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動記載每個人每日健步的步數，從而為科學健身提供一定的幫助.某市工會為了解該市市民每日健步走的情況，從本市市民中隨機抽取了2000名市民（其中不超過40歲的市民恰好有1000名），利用手機計步軟件統計了他們某天健步的步數，并將樣本數據分為
，
，
，
，
，
，
，
，
九組（單位：千步），將抽取的不超過40歲的市民的樣本數據繪制成頻率分布直方圖如右，將40歲以上的市民的樣本數據繪制成頻數分布表如下，并利用該樣本的頻率分布估計總體的概率分布.
分組 （單位：千步） |
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頻數 | 10 | 20 | 20 | 30 | 400 | 200 | 200 | 100 | 20 |
（1）現規定，日健步步數不低于13000步的為“健步達人”，填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷能否有
％的把握認為是否為“健步達人”與年齡有關；
健步達人 | 非健步達人 | 總計 | |
40歲以上的市民 | |||
不超過40歲的市民 | |||
總計 |
（2）（�。├脴颖酒骄鶖岛椭形粩倒烙嬙撌胁怀^40歲的市民日健步步數（單位：千步）的平均數和中位數；
（ⅱ）由頻率分布直方圖可以認為，不超過40歲的市民日健步步數
（單位：千步）近似地服從正態分布
，其中
近似為樣本平均數
（每組數據取區間的中點值），
的值已求出約為
.現從該市不超過40歲的市民中隨機抽取5人，記其中日健步步數位于
的人數為
，求的數學期望.
參考公式：
，其中
.
參考數據：
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若
，則
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】空氣質量指數(簡稱：AQI)是定量描述空氣質量狀況的無量綱指數，空氣質量按照AQI大小分為六級：
為優，
為良，
為輕度污染，
為中度污染，
為重度污染，
為嚴重污染.下面記錄了北京市
天的空氣質量指數，根據圖表，下列結論錯誤的是( )
A.在北京這天的空氣質量中，按平均數來考查，最后
天的空氣質量優于最前面天的空氣質量
B.在北京這天的空氣質量中，有
天達到污染程度
C.在北京這天的空氣質量中，
月
日空氣質量最差
D.在北京這天的空氣質量中，達到空氣質量優的天數有
天
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數
（其中
）的圖象如圖所示，為了得到
的圖象，則只要將
的圖象上所有的點（ ）
A.向左平移
個單位長度，縱坐標縮短到原來的
，橫坐標不變
B.向左平移
個單位長度，縱坐標伸長到原來的3倍橫坐標不變
C.向右平移個單位長度，縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變
D.向右平移個單位長度，縱坐標伸長到原來的3倍，橫坐標不變
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點O，其右焦點為F（1，0），以坐標原點O為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y
0的相切.
（1）求橢圓C的方程；
（2）經過點F的直線l1，l2分別交橢圓C于A、B及C、D四點，且l1⊥l2，探究：是否存在常數λ，使
恒成立.
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