Question

【題目】已知二次函數f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=f（x）﹣2tx在區間[﹣1，5]上是單調函數，求實數t的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=x+m有區間（﹣1，2）上有唯一實數根，求實數m的取值范圍（注：相等的實數根算一個）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

代入f（x+1）﹣f（x）=2x得2ax+a+b=2x對于x∈R恒成立，

故

又由f（0）=1得c=1，

解得a=1，b=﹣1，c=1，

所以f（x）=x2﹣x+1

（2）解：因為g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的圖象關于直線x= 對稱，

又函數g（x）在[﹣1，5]上是單調函數，故 ≤﹣1或 ，

解得t≤ 或

故實數t的取值范圍是（﹣∞， ]∪[ ，+∞）

（3）解：由方程f（x）=x+m得x2﹣2x+1﹣m=0，

令h（x）=x2﹣2x+1﹣m，x∈（﹣1，2），即要求函數h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零點，…（11分）

①若h（﹣1）=0，則m=4，代入原方程得x=﹣1或3，不合題意；

②若h（2）=0，則m=1，代入原方程得x=0或2，滿足題意，故m=1成立；

③若△=0，則m=0，代入原方程得x=1，滿足題意，故m=0成立；

④若m≠4且m≠1且m≠0時，由 得1＜m＜4．

綜上，實數m的取值范圍是{0}∪[1，4）

【解析】（1）根據二次函數f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系數法，可得f（x）的解析式；（2）由g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的圖象關于直線x= 對稱，結合函數g（x）在[﹣1，5]上是單調函數，可得 ≤﹣1或 ，解得實數t的取值范圍；（3）若關于x的方程f（x）=x+m有區間（﹣1，2）上有唯一實數根，則函數h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零點，分類討論，可得實數m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．