Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，△與△都是等邊三角形．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明線面垂直，就是要證線線垂直，要證與平面中兩條相交直線垂直，由平面幾何知識易得，另一條垂線不易找到，考慮到，因此在平面上的射影是的外心，從而是中點，那么可得，第二個垂直也得到了，從而證得結論；

（2）要求二面角，可根據二面角的定義先作二面角的平面角，由已知條件可得，從而，由（1）的結論可得，從而又有平面，因此就是要作的平面角，解三角形可得此角．

試題解析：（1）證明：過作平面于，連．

依題意，則．

又△為，故為的中點．

∵面，∴面面．

在梯形中，，

∴．

∵面面，

∴平面．

（2）由（1）知平面，

又，

∴．

由三垂線定理知．

∴為二面角的平面角，

∴．