Question

【題目】如圖，正三棱柱的底面邊長為，點在邊上，是以點為直角頂點的等腰直角三角形．

（1）求證：點為邊的中點；

（2）求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形，可得且，根據三垂線定理可知，而底面為邊長為的正三角形，則即可證得點為邊的中點；

（2）過點作，根據線面垂直的判定定理可知平面，平面，則即為點到平面的距離，根據等面積法可求出的長．

（1）證：為以點為直角頂點的等腰直角三角形，

且，

三棱柱，底面，

在底面內射影為，，

底面為邊長為的正三角形，

點為邊的中點；

（2）解：由（1）知平面，則平面平面．

在平面內過點作于，

且平面平面，

∴平面，

∴即為到平面的距離，

在正三角形內，∵，

∴，則，

在中，，

則，

∴，

∴到平面的距離為．