Question

【題目】在平面直角坐標系中，將曲線：上的點按坐標變換，得到曲線，為與軸負半軸的交點，經過點且傾斜角為的直線與曲線的另一個交點為，與曲線的交點分別為，（點在第二象限）.

（Ⅰ）寫出曲線的普通方程及直線的參數方程；

（Ⅱ）求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（為參數）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用伸縮變換公式，把代入的方程，化簡整理即可；由曲線的方程求出點的坐標，利用傾斜角求出其余弦值和正弦值，代入直線參數方程的標準形式即可求解；

（Ⅱ）利用弦長公式求出,聯立直線的參數方程和曲線的方程，利用直線參數方程中參數的幾何意義求出，進而求出的值.

（Ⅰ）由題得代入的方程得

：，即的方程為，

因為曲線：，令，則，

因為為與軸負半軸的交點，所以點，

因為直線的傾斜角為，所以，

所以的參數方程為（為參數）；

（Ⅱ）因為，所以直線的方程為，

因為圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為

，

由弦長公式可得，，

將（為參數）代入，整理得，

設，為方程的兩個根，則，，

∴.