Question

【題目】已知圓經過點，圓的圓心在圓的內部，且直線被圓所截得的弦長為.點為圓上異于的任意一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點.

（1）求圓的方程；

（2）求證: 為定值；

（3）當取得最大值時，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先根據條件設出圓心及半徑，然后利用弦長公式求得半徑，再利用點到直線的距離公式求得圓心，從而求得圓的方程；（2）直線的斜率不存在可直接求出定值，直線與直線的斜率存在時，設點，由此得到直線的方程與的方程，從而求得點的坐標，進而利用向量數量積公式求出定值；（3）首先求得關于的表達式，然后根據直線與圓位置關系求得的值．

試題解析：（1） 易知點在線段的中垂線上，故可設,圓的半徑為

∵直線被圓所截得的弦長為，且

∴到直線 的距離,或.

又圓的圓心在圓的內部，

,圓的方程.

（2）證明: 當直線的斜率不存在時,.

當直線與直線的斜率存在時，設,直線的方程為．

令得.直線的方程為．

令得.

,

故 為定值為．

（3）解:

設,易知當直線與圓切于第三象限時，取得最小值，

此時， 此時，，故.