Question

【題目】設數列{an}的首項a1為常數，且an+1=3n﹣2an ， （n∈N*）
（1）證明：{an﹣ }是等比數列；
（2）若a1= ，{an}中是否存在連續三項成等差數列？若存在，寫出這三項，若不存在說明理由．
（3）若{an}是遞增數列，求a1的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=3n﹣2an，（n∈N*），

∴ = =﹣2，

∴數列{an﹣ }是等比數列

（2）解：{an﹣ }是公比為﹣2，首項為a1﹣ = 的等比數列．

通項公式為an= +（a1﹣ ）（﹣2）n﹣1= + ×（﹣2）n﹣1，

若{an}中存在連續三項成等差數列，則必有2an+1=an+an+2，

即 = + + ，

解得n=4，即a4，a5，a6成等差數列

（3）解：如果an+1＞an成立，

即 + ＞ +（a1﹣ ）（﹣2）n﹣1對任意自然數均成立．

化簡得 ＞ ×（﹣2）n，

當n為偶數時 ﹣ ，

∵p（n）= ﹣ 是遞減數列，

∴p（n）max=p（2）=0，即a1＞0；

當n為奇數時，a1 + ，

∵q（n）= + 是遞增數列，

∴q（n）min=q（1）=1，即a1＜1；

故a1的取值范圍為（0，1）

【解析】（1）由于an+1=3n﹣2an ， （n∈N*），可得 = =﹣2，即可證明．（2）{an﹣ }是公比為﹣2，首項為a1﹣ = 的等比數列．通項公式為an= + ×（﹣2）n﹣1 ， 若{an}中存在連續三項成等差數列，則必有2an+1=an+an+2 ， 代入解出即可得出．（3）如果an+1＞an成立，即 + ＞ +（a1﹣ ）（﹣2）n﹣1對任意自然數均成立．化簡得 ＞ ×（﹣2）n ， 對n分類討論，利用數列的單調性即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．