Question

【題目】已知函數是R上的偶函數，且當x>0時，函數的解析式為= .

(1)判斷并證明在(0，＋∞)上的單調性；

(2)求:當x<0時，函數的解析式．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：用定義證明函數的單調性需要以下步驟，一、取值，在x>0內任取兩個自變量，且 ，二、作差，三、變形（包括通分、配方、因式分解、分子有理化等），四、斷號（判斷各部分的正負，說明差的符號正負），最后給出結論.利用函數的奇偶性求函數的解析式是函數的奇偶性的應用之一，給出函數在x>0的解析式，利用當x<0時，-x>0,借助f(x)=f(-x)就可以求出x<0時的解析式；

試題解析：

（1）當時，

是上減函數

證明： 且

即

是上減函數.

當時，

為R上偶函數

當時， .

【點精】函數的單調性的判斷分為“粗判”和“細斷”兩種，所謂粗判，就是根據已知函數的單調性結合和復合函數關系，判斷出函數在某區間上的單調性；所謂細斷就是根據函數的單調性定義進行嚴格證明或利用導數的正負進行嚴格的判斷，關于利用函數的單調性的定義證明，其步驟為①取值，②作差，③變形，④斷號，最后給出單調性結論. 利用函數的奇偶性求函數的解析式是函數的奇偶性的應用之一，給出函數在x>0的解析式，利用當xlt;0時，-x>0,偶函數借助f(x)=f(-x)就可以求出x<0時的解析式；