Question

【題目】已知函數，其中.

（1）求函數的單調區間；

（2）討論函數零點的個數；

（3）若存在兩個不同的零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）增區間為，，減區間為 （2）見解析 （3）證明見解析

【解析】

（1）先求出的定義域,求得導函數,令可解得或,分類討論判斷或,進而解得單調區間；

（2）整理函數為,則令,當時,,則分別討論和兩種情況,利用零點存在性定理判斷零點個數；

（3）由（2）可知,構造函數,利用導數可得在單調遞增,則,整理即可得證

解：（1）函數的定義域為,

令,得或,

因為,當或時,,單調遞增；

當時,,單調遞減,

所以的增區間為,；減區間為

（2）取,則當時,,,

所以；

又因為,由（1）可知在上單調遞增,因此,當,恒成立,即在上無零點.；

下面討論的情況：

①當時,因為在單調遞減,單調遞增,且,,,

根據零點存在定理,有兩個不同的零點；

②當時,由在單調遞減,單調遞增,且，

此時有唯一零點；

③若,由在單調遞減,單調遞增,,

此時無零點；

綜上,若,有兩個不同的零點；若,有唯一零點；若,無零點

（3）證明：由（2）知,,且,

構造函數,,

則,

令,,

因為當時,,,

所以

又,所以恒成立,即在單調遞增,

于是當時,,即 ,

因為,所,

又,所以,

因為,,且在單調遞增,

所以由,可得,即