Question

【題目】已知圓C過點A（1，2）和B（1，10），且與直線x﹣2y﹣1=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設P為圓C上的任意一點，定點Q（﹣3，﹣6），當點P在圓C上運動時，求線段PQ中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓心顯然在線段AB的垂直平分線y=6上，設圓心為（a，6），半徑為r，則：

圓C的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣6）2=r2，

由點B在圓上得：（1﹣a）2+（10﹣6）2=r2，

又圓C與直線x﹣2y﹣1=0，有r= ．

于是

解得： ，或

所以圓C的標準方程為（x﹣3）2+（y﹣6）2=20，或（x+7）2+（y﹣6）2=80

（2）解：設M點坐標為（x，y），P點坐標為（x0，y0），

由M為PQ的中點，則 ，即：

又點P（x0，y0）在圓C上，

若圓的方程為（x﹣3）2+（y﹣6）2=20，有： ，

則（2x+3﹣3）2+（2y+6﹣6）2=20，整理得：x2+y2=5

此時點M的軌跡方程為：x2+y2=5．

若圓的方程為（x+7）2+（y﹣6）2=80，有： ，

則（2x+3+7）2+（2y+6﹣6）2=80，整理得：（x+5）2+y2=20

此時點M的軌跡方程為：（x+5）2+y2=20

綜上所述：點M的軌跡方程為x2+y2=5，或（x+5）2+y2=20

【解析】（1）設所求圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣6）2=r2 ， 代入坐標，可得圓心與半徑，即可求圓C的方程；（2）分類討論，利用代入法，求線段PQ中點M的軌跡方程．