Question

【題目】已知拋物線C：x2=2py（p＞0），過其焦點作斜率為1的直線l交拋物線C于M、N兩點，且|MN|=16． （Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知動圓P的圓心在拋物線C上，且過定點D（0，4），若動圓P與x軸交于A、B兩點，且|DA|＜|DB|，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設拋物線的焦點為 ，則直線 ， 由 ，得x2﹣2px﹣p2=0
∴x1+x2=2p，∴y1+y2=3p，
∴|MN|=y1+y2+p=4p=16，∴p=4
∴拋物線C的方程為x2=8y
（Ⅱ）設動圓圓心P（x0 ， y0），A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），則 ，
且圓 ，
令y=0，整理得： ，
解得：x1=x0﹣4，x2=x0+4，，
，
當x0=0時， ，
當x0≠0時， ，∵x0＞0，∴ ， ，∵ ，
所以 的最小值為 ．
【解析】（Ⅰ）設拋物線的焦點為 ，則直線 ，聯立方程組，利用韋達定理得到x1+x2=2p，y1+y2=3p，通過|MN|=y1+y2+p=4p=16，求出p，即可求出拋物線C的方程．（Ⅱ）設動圓圓心P（x0 ， y0），A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），得到 ，圓 ，令y=0，解得x1=x0﹣4，x2=x0+4，求 的表達式，推出x0的范圍，然后求解 的最小值．