Question

【題目】 ．
（1）若 時， ，求cos4x的值；
（2）將 的圖象向左移 ，再將各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得y=g（x），若關于g（x）+m=0在區間 上的有且只有一個實數解，求m的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（ sin2x，cos2x）， =（cos2x，﹣cos2x），

∴f（x）= +

= sin2xcos2x﹣cos22x+

= sin4x﹣ cos4x﹣ +

=﹣cos（4x+ ）=﹣ ，

∴cos（4x+ ）= ；

又 時，4x+ ∈（ ，2π），

∴sin（4x+ ）=﹣ =﹣ ，

∴cos4x=cos[（4x+ ）﹣ ]

=cos（4x+ ）cos +sin（4x+ ）sin

= × +（﹣ ）×

= ；

（2）解：由（1）知，f（x）= sin4x﹣ cos4x=sin（4x﹣ ），

將f（x）的圖象向左平移 個單位，得y=sin[4（x+ ）﹣ ]=sin（4x+ ）的圖象；

再將y各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得y=sin（2x+ ）的圖象；

則y=g（x）=sin（2x+ ）；

當x∈ 時，2x+ ∈[ ， ]，

畫出函數g（x）的圖象，如圖所示；

則g（x）+m=0在區間 上的有且只有一個實數解時，

應滿足﹣ ≤﹣m＜ 或﹣m=1；

即﹣ ＜m≤ ，或m=﹣1．

【解析】（1）由題意，根據平面向量的數量積運算求出cos（4x+ ）的值，再利用三角恒等變換求出cos4x的值；（2）由（1）知f（x）的解析式，利用圖象平移和變換得出g（x）的解析式，畫出函數g（x）的圖象，結合圖象求出m的取值范圍．