Question

【題目】如圖，在邊長等于2正方形中，點Q是中點，點M,N分別在線段上移動（M不與A,B重合，N不與C,D重合），且，沿著將四邊形折起，使得二面角為直二面角，則三棱錐體積的最大值為________；當三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）先證明是三棱錐的高，設得到，再利用二次函數求最值得解；

（2）如圖，把三棱錐補成一個直三棱柱,它們兩個的外接球是同一個球.求出球的半徑即得外接球的表面積.

（1）如圖，

因為二面角為直二面角，平面平面,

所以平面,

所以是三棱錐的高.

設，

所以三棱錐體積，

所以當時，.

（2）如圖，把三棱錐補成一個直三棱柱,它們兩個的外接球是同一個球. 點為外接球的球心，為外接球的半徑.

由題得,,

底面等腰直角三角形的外接圓的半徑為斜邊的一半，即.

所以.

所以外接球的表面積為.

故答案為：.