Question

【題目】設數列和的項數均為，則將兩個數列的偏差距離定義為，其中.

（1）求數列1，2，7，8和數列2，3，5，6的偏差距離；

（2）設為滿足遞推關系的所有數列的集合，和為中的兩個元素，且項數均為，若，，和的偏差距離小于2020，求最大值；

（3）記是所有7項數列或的集合，，且中任何兩個元素的偏差距離大于或等于3，證明：中的元素個數小于或等于16.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）3461；（3）見解析.

【解析】

（1）由數列距離的定義即可求得數列1，2，7，8和數列2，3，5，6的偏差距離；

（2）由數列的遞推公式，即可求得中數列的項周期性重復，且間隔4項重復一次，求得數列，的規律，可知隨著項數越大，數列，的距離越大，由，再根據周期的定義得到的取大值；

（3）利用反證法，假設中的元素個數大于等于17個，設出，最后求得和中必有一個成立，與數列偏差距離大于或等于3相矛盾，故可證明中的元素個數于于或等于16.

（1）由題意得，數列1，2，7，8和數列2，3，5，6的偏差距離為：.

（2）設，其中，且，

由得，所以.

因此中數列的項周期性重復，且間隔4項重復一次，

所以數列中，，

所以數列中，，

項數越大，數列，的距離越大，

由，

得，

故的最大值為.

（3）假設中元素素個數大于等于17個，

因為數列中，或，

所以僅由數列前三項組成的數組有且僅有8個，

那么這17個元素（即數列）之中必有三個具有相同的，

設這個數列分別為

，其中，

因為這三個數列中每兩個的距離大于等于3，

所以，和中，中至少有三個成立，

不妨設，

由題意，和中一個等于0，而另一個等于1，

又因為或，

所以和中必有一個成立，

同理，得和中必有一個成立，和中必有一個成立，

所以“中至少有兩個成立”或“中至少有兩個成立”中必有一個成立，

所以和中必有一個成立，與題意矛盾，

所以中的元素個數小于或等于16.