Question

已知數列滿足：其中，數列滿足：
（1）求；
（2）求數列的通項公式；
（3）是否存在正數k，使得數列的每一項均為整數，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的k.

Answer 1

（1）（2）（3）的取值集合是

解析試題分析：(1)先由遞推公式求出 
再用遞推公式求出 ；
(2)由  
兩式相減可得 即： ,于是結合（1）的結論可得 .
(3)對于這類問題通常的做法是假設 的值存在,由（1）的結果知，
或 ,接下來可用數學歸納法證明結論成立即可.
試題解析：（1）經過計算可知：
.
求得.                               （4分）
（2）由條件可知：.       ①
類似地有：.       ②
①-②有：.
即：.
因此：
即：故

所以：.                               （8分）
（3）假設存在正數，使得數列的每一項均為整數.
則由（2）可知：       ③
由，及可知.
當時，為整數，利用，結合③式，反復遞推，可知，，，， 均為整數.
當時，③變為     ④
我們用數學歸納法證明為偶數，為整數
時，結論顯然成立，假設時結論成立，這時為偶數，為整數，故為偶數，為整數，所以時，命題成立.
故數列是整數列.
綜上所述，的取值集合是.                             （14分）
考點：1、數列的遞推公式；2、數學歸納法.