Question

【題目】已知拋物線，過焦點F的直線l與拋物線交于S，T，且.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設點P是x軸下方（不含x軸）一點，拋物線C上存在不同的兩點A，B滿足，其中為常數，且兩點D，E均在C上，弦AB的中點為M.

①若點P坐標為，拋物線過點A，B的切線的交點為N，證明：點N在直線MP上；

②若直線PM交拋物線于點Q，求證；為定值（定值用表示）.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析，定值為

【解析】

（1）設直線：,聯立直線與拋物線可得,則由韋達定理得,,代入中即可求得,進而得到拋物線方程；

（2）設,則,,①由可得,將點的坐標代入拋物線中可得,則,進而得到,是方程的兩根,從而求得點、點的坐標,利用導數求得切線方程,聯立即可求得交點,因而得證；

②由,得,代回拋物線方程, 同理①整理后可得,為方程的兩根,求得點的坐標,則,將點坐標代入求證即可

（1）由題,顯然直線的斜率存在,設：,,

聯立得,,

由韋達定理得,,

,

,

即

,

則拋物線方程為

（2）設,則,,

①由,,得,

點D在拋物線C上,

故,

即,則,

由,所以,即,

同理可得,

即,是方程的兩根,

解得或,

不妨,,則中點,直線

由,所以,

得兩切線,

所以,解得,則,

所以N在直線PM上

②設,,

由,得,

代D入拋物線C,

則,

即,

化簡得：,

同理將E代入拋物線C得：,

即,為方程的兩根,

由韋達定理得,,,

所以,,

顯然,

所以設,

所以,,

故,為定值