Question

【題目】已知函數．

（1）若函數的圖象在處的切線經過點，求的值；

（2）是否存在負整數，使函數的極大值為正值？若存在，求出所有負整數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在

【解析】

（1）先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，根據點斜式得切線方程，最后根據切線過點，求的值；（2）先根據導函數確定極值點范圍，再根據極大值條件以及極大值為正數條件列不等式組，得，最后根據導數求最小值，得到a的取值范圍，但無整數解，所以不存在負整數滿足條件．

（1）∵ ∴,

∴函數在處的切線方程為：，又直線過點

∴，解得：

（2）若，，

當時，恒成立，函數在上無極值；

當時，恒成立，函數在上無極值；

在上，若在處取得符合條件的極大值，則，則，由（3）得：，代入（2）得： ，結合（1）可解得：，再由得：，

設，則，當時，，即是增函數，

所以，

又，故當極大值為正數時，，從而不存在負整數滿足條件．