Question

【題目】已知函數f（x）=|x+1|+|x﹣5|的最小值為m
（1）求m的值；
（2）若a，b，c為正實數，且a+b+c=m，求證：a2+b2+c2≥12．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=|x+1|+|x﹣5|，

x≥5時，f（x）=x+1+x﹣5=2x﹣4，此時f（x）的最小值是6，

﹣1≤x≤5時，f（x）=x+1﹣x+5=6，

x≤﹣1時，f（x）=﹣x﹣1﹣x+5=﹣2x+4，此時f（x）的最小值是6，

故f（x）的最小值是6，故m=6；

（2）解：由（1）得a+b+c=6，

因為a，b，c 均為正實數，由柯西不等式得，

（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=36，當且僅當a=b=c=2時等號成立，

∴a2+b2+c2 的最小值為12

【解析】（1）通過討論x的范圍，求出f（x）的最小值即m的值即可；（2）根據（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=36，可得 a2+b2+c2 的最小值為12．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．