Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，點也為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點.

（Ⅰ）若點滿足，求直線的方程；

（Ⅱ）為直線上任意一點，過點作的垂線交橢圓于兩點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由拋物線C2：y2＝8x得F2（2，0），當直線l斜率不存在，即l：x=2時，滿足題意.當直線l斜率存在，設l：y=k（x-2）（k≠0），A，B，與拋物線方程聯立可得，利用根與系數的關系、中點坐標公式可得AB的中點，由|PA|=|PB|，可得PG⊥l，kPGk=-1，解得k即可得出；（Ⅱ）F2（2，0），可得橢圓C1的方程，設T點的坐標為（-3，m），則直線TF1的斜率kTF1=-m.當m≠0時，直線MN的斜率kMN＝，直線MN的方程是x=my-2，

當m=0時，上述方程.設M ，N ，與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系、兩點之間的距離公式及其基本不等式的性質即可得出

試題解析：（Ⅰ）由拋物線得方程， ………分,

當直線斜率不存在，即時，滿足題意. ……… 分,

當直線斜率存在，設，

聯立 …… 分,

設的中點為，則，，，，直線：或 ……… 分,

（Ⅱ）∵，設T點的坐標為，……… 分,

則，∴可設直線. ，則，

得，……… 分

，，

當且僅當，即時，取得最小值.