Question

【題目】已知橢圓的離心率為，分別為左，右焦點，分別為左，右頂點，D為上頂點，原點到直線的距離為.設點在第一象限，縱坐標為t，且軸，連接交橢圓于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）（文）若三角形的面積等于四邊形的面積，求直線的方程；

（理）求過點的圓方程（結果用t表示)

Answer 1

【答案】（1）.

（2）（文）（理）

【解析】

（1）通過已知條件求出離心率以及利用點到直線的距離公式求解a，b，即可得到橢圓方程．

（文）設，t＞0，直線PA的方程為，聯立直線與橢圓方程，求出C的坐標，表示三角形的面積求出t，即可得到PA的方程．

（理）求出BP的垂直平分線，BC的垂直平分線為，求出圓心坐標，得到圓的方程即可．

（1）因為橢圓的由離心率為，

所以，，所以直線的方程為，

又到直線的距離為，所以，

所以，，

所以橢圓的方程為.

（2）（文），，

直線的方程為，

由，整理得，

解得：，則點的坐標是，

因為三角形的面積等于四邊形的面積，所以三角形的面積等于三角形的面積，

，

，

則，解得.

所以直線的方程為.

（理），，

直線的方程為，

由，整理得，

解得：，則點的坐標是，

因為，，，

所以的垂直平分線，

的垂直平分線為，

所以過三點的圓的圓心為，

則過三點的圓方程為 ，

即所求圓方程為 .